我对数学的追求

我对数学的追求

2019-01-25

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我很早就知道健雄先生,从我内心来讲,对这样一位物理学大师,我一直是非常钦佩的。我今天到这儿来,觉得很自豪。

既然题目定为《我对数学的追求》,我就讲一讲我自己的事情。我希望,不管是成功的方面,还是很多失败的经验,我都能拿出来和在座的同学分享一下,这样说起来可能比较有意思。
  《十万个为什么》激起了我对数学的兴趣大概十来岁的时候第一次听到华罗庚的名字,知道华罗庚伟大得不得了。那个时候的科普做得非常好,有一些专业的作者写了一些书,让大家都能看得懂,写得非常好。比如《十万个为什么》出了前五卷,物理、化学、天文……后来,它又增了三卷。这三卷的最后一卷是数学。第一章讲的是一种分不出两面的带子,叫莫比乌斯带。最吸引我的还是数论问题,一个是费尔马大定理。它说,法国数学家费尔马研究过这个问题,他的结论是整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解。费尔马说这个问题他已经找到了证明,可是他的证明失传了。那个时候我还真相信了。但是现在公认的是费尔马没有证出来,他肯定是哪一步弄错了。所以,真正的大数学家也会弄错。还有一个是哥德巴赫猜想,很有意思。这个《十万个为什么》如果能找到第一版的话,可以看到,他不叫哥德巴赫,他叫古特拔黑。他是在一封给欧拉的信里头提出这个猜想,欧拉一辈子也没做出来。
  在座的同学岁数大一点的可能读过徐迟先生的《哥德巴赫猜想》,年龄小一点的可能没读过。有很多年轻人一看就说:“这个问题有什么难的?我也能证出来。”但我小时候从来不这么想,我就觉得这不可思议:这种问题怎么能够证?难道数学问题真的可以这么证出来吗?但我知道这两个问题都没有证出来。孪生素数猜想我是后来才知道的。在第一版《十万个为什么》里他没有提到这个问题,后来在一些新版里就有这个问题。就是看了《十万个为什么》我迷上了数学。以前历史地理我都不看了,就想着看数学吧。于是,注意力就集中在能够找到的初中乃至高中的数学教科书。
  小时候我已经形成了一种习惯:没事喜欢想一些数学问题。这些问题都不是书上看来的,而是自己给自己出问题:如果我这么弄会怎么样?如果这一步这么算会等于几?……有一次我就在想一个几何问题———现在想应该很简单:如果我把一个小的正方形斜着套在一个大的正方形里面,那四个顶角正好顶在大正方形里头,那这个图形会是什么样子?当时我并没有想得到答案,也就是没有目的、随意泛泛地想。结果,后来一想,我发现一件事情:我能够把勾股定理证出来。我非常惊讶,原来数学是可以证出来的,以前我都不知道。然后就开始喜欢数学了,把初中的、高中的数学教材都拿来看,后来都想看大学的了。做学问,要注重思维的深度,保持敏感性做好学问,最重要的是思维的深度。这里我举一个例子。德国数学家Hilbert是公认的20世纪最伟大的数学家,在数学的很多不同领域做出了开创性的贡献,但他反应特别迟钝。比如说,有个人在讨论班上作报告,讲自己的研究成果,最后所有人都听懂了,就Hilbert没听懂。于是听懂的人和演讲者帮助他一起弄懂。最后,废了很大功夫,他终于明白了。他笑道:我发现我能找到一个更好的证明方法。据说他的记忆力也不太好,可是他的思维是有深度的。Hilbert的洞察力非常强,他能看出数学中什么是最重要的,于是他奠定的知识都是最基本、最有原创性的。
  1999年,我的北大校友有一个网络设计的问题,实际上大致来讲是数学里的最优化问题,就是在一定的限定条件下,给你一些资源、一些空间,怎样能让网络转换器的容量最大。那实际上就变成一个数学问题了,一个非常非常精巧的数学问题,应该是属于离散数学的范畴。他没做出来问我说你能不能试着做?后来我换了一种方法把这个问题在数学上证明了。正是由于我对数学保持的这种敏感性,我才能解决这个问题。也正是因为如此,我后来被美国的新罕布什尔大学聘任,在那里任教。
  做学问,要有胆量,保持新鲜感素数间的有界间隔问题,这个问题怎么做的呢?又是怎么做成了呢?在这之间,上世纪八十年代,已经有三个数学家已经在一个方面为这个问题打下了基础,但他们的结果当时能达到的还差了一点,后来他们做不下去就停下来去做别的了,但那个问题就一直留着。我很早就看过他们的工作,当时我对他们的工作有一个感觉就是不满足,我就觉得为什么非要这么去取呢?要把最一般的都要做出来,实际上,归结到数学问题上面,我们只需要考虑比较特别的情况,而那些特别的情况你有可能用别的方法联系起来。我那个时候就已经有这种感觉了,但这个感觉就留在心里,我也没有用。后来又是另外的三个数学家,都是三个人,他们开始做素数有界间隔问题,他们大概总共做了有十几年吧,近二十年。做到2007、2008年的时候,做到最后,就差一步,差的一步正好就是前面三位数学家没有跨过去的一步。这两个问题本身是不一样的,但可以结合起来,如果前面三位数学家的问题可以跨过去,那他们这个问题也就出来了。直到2008年,在美国西部美国数学研究所为此专门开了一星期的会,把这方面的专家全都请来了,花一个星期,来讨论这一步能不能过去,就差这一步。结果弄到最后是非常悲观的,就是这一步是过不去的,于是大家也都停了,后来人也就不做了。后来还专门有一个印度裔的斯坦福大学的一个教授,写了一篇文章专门介绍这个问题的历史现状,还特别解释为什么这一步就是过不去。
  我也不知道是碰巧还是怎么样,第一我不是那种轻易相信权威的人,第二我也没有参加那个会议,和任何人也没有联系。我从那个角度又重新捡起来,就往那方面去想。前面那三位数学家过不去的那一步其实我已经有准备了,我已经想好了,只要是把那些东西归结到一些特殊的情况,有可能把另外的一套东西用进来。结果我去做,发现可以用进来,于是一步一步就把这个东西都弄出来了。后来就是前面那三位数学家,其中两个还是我的审稿人呢,他们最后就解释为什么张益唐能做出来他们没做出来。他们说我们那个方法不够灵活,也就是说我能够找到那个灵活性的东西。所以我说做学问第一要有胆量,根本不怕别人做不出来我也敢去做;第二要保持一种新鲜感,永远能看到有什么地方是前人没有意识到的,但我可能用另外一种方式能够进去的。
  从这一点来讲,一方面来说我们做学问你要有一点自信心,要有这种气魄,我敢做!一方面真正做的时候,不要整天沾沾自喜想着我这个人有多聪明,特别不要去耍小聪明,要踏踏实实一步一步往前走。这两者是缺一不可的。做学问,不要轻易放弃,善于寻找新的出发点我的关于有界间隔问题文章投出去了,我讲一讲投稿以后的故事吧。文章发表第二年普林斯顿把我请去了,普林斯顿高等研究所的桑尼克教授,他也是我投稿的数学年刊的主编,他告诉我审稿是怎么审的:两个审稿人是最早的三个数学家其中的两个。他们开始一看就是说不可能做出来,可是过了一会儿再看看我这个文章呢,至少他觉得这不是在胡说八道。然后桑尼克说审稿人不停地给他发电子邮件,邮件中把我这篇文章说得越来越好了。先是“这篇文章有一个比较好的想法”,“这篇文章这个想法很不错”,“哇,这篇文章这个想法非常好啊”……在一个礼拜之内,总共发了无数次邮件。“有可能这篇文章是对的”“这篇文章很可能是对的”“这篇文章非常可能是对的”,一个星期结束的时候,他几乎可以断定这篇文章是对的了。然后第二个星期,那个审稿人跟外界断绝了一切联系。他自己关了门,根据对我文章的理解,自己把证明重新写了一遍,写完了以后,再跟我的文章做对比,这时候他已经确定就是对的了。第三个星期他就在细节上给我逐字逐句地挑有没有毛病,毕竟在这种方面上他还是很严格的。最后第三个礼拜结束,他的评语出来就是强烈推荐,还说了一句他研究了所有的细节,找不出一点错来。我是4月17日投出去的,5月9日,就是过了22天以后我早上到办公室,一打开email就看到告诉我这篇文章已经被接受了。
  如果你真的喜欢一个东西,坚持下去,不要轻易放弃,轻易放弃的话将来你可能会终生后悔。钱不是唯一的标准,如果你真正要做学问,至少,不是说不要钱,现实中确实有很多要考虑,但至少不要把那东西看得太重。你喜欢你就坚持。
  你做的时候最好能够找一些新的出发点,能够看到你和别人是不一样的,从那个地方出发。而且在做的过程中遇到很多困难你觉得做不下去了,那会怎么办呢?这里我要提一点我的经验。你做不下去是谁弄得你做不下去、出很多问题,很大可能是源于你自己。中国有一个成语叫“墨守成规”,我相信整个科学发展都是这样的,你在探索的时候,探索未知的时候你往前走,但是路其实有很多很多,很可能到了一个分叉口的时候,是碰巧或者习惯或是下意识,你就走一条路,而另外一条路可能是更好的一条路,当时你不一定意识到,于是你就这么走着走着走到那,这个路怎么就越走越窄最后就没路了,这时候不妨就停一下、慢一点,再回到原来的出发点,再重新看一次这个东西,就反复地想你自己是怎么过来的,这个事情我也遇到过很多次。
  最后,真正做学问,做的时候保持一种谦虚的心态,不要一开始想着自己特别特别的好。我相信在我们这些同学中间,我们整个国家、我们现在这个社会正在飞速的进步,我们中间会出现更多的能够做学问、能够取得重大成绩的同学,这也是我对大家的希望。
  (本文为张益唐先生做客“吴院大讲堂”的讲座内容摘要,录音整理:林子琪、徐天萌)一击命中2018年12月28日,在2018第十三届大学生创新创业成果展示会上,学生展示的投篮机器人将球准确投入目标区域。
  张益唐1955年出生于上海,华人数学家,美国加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授。1978年考入北京大学数学系,1982年本科毕业;1982—1985年,师从著名数学家、北京大学潘承彪教授攻读硕士学位;1992年毕业于美国普渡大学,获博士学位;2013年5月,在孪生素数研究方面所取得的突破性进展,在不依赖未经证明推论的前提下,发现存在无穷多差小于7000万的素数对,从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。


本文原载于《报http://www.quetalradio.com/ddb.quetalradio.com/media/user/2019-01-15/show2.html

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